Differentialgleichungen
Differentialgleichungen sind Gleichungen, deren Lösungen keine Zahlen, sondern Funktionen sind. Sie beschreiben den Zusammenhang, der zwischen gesuchter Funktion und ihren Ableitungen herrschen soll.
Differentialgleichungen können verwendet werden, um etwa physikalische Gesetzmäßigkeiten zu beschreiben. Sie sind daher ein wesentliches Werkzeug der mathematischen Modellierung.
Man unterscheidet zwischen gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen.
- Bei gewöhnlichen Differentialgleichungen hängt die gesuchte Funktion lediglich von einer Veränderlichen ab. Es können also gewöhnliche Ableitungen der Funktion in dieser einen Variablen auftreten. Die Ordnung der Differentialgleichung entspricht der höchsten auftretenden Ableitung. Man unterscheidet zwischen expliziten und impliziten Differentialgleichungen, je nachdem, ob man die Gleichung nach der höchsten auftretenden Ableitung auflösen kann oder nicht. In der Anwendung handelt es sich bei der Veränderlichen häufig um die Zeit. So beschreibt die Differentialgleichung das Änderungsverhalten der gesuchten Größen zueinander.
- Bei partiellen Differentialgleichungen hängt die gesuchte Funktion von mehr als einer Veränderlichen ab und enthalten auch Ableitungen nach mehr als nur einer dieser Veränderlichen. Es handelt sich um ein weites Feld an möglichen Gleichungen, deren Theorie Gegenstand aktueller Forschung auf verschiedenen Gebieten ist.
Nur für wenige Differentialgleichungen existieren explizite Algorithmen zur Lösung. Für viele Lösungen ist nicht einmal eine explizite Lösungsdarstellung möglich, so dass hier viel auf numerische Approximation zurückgegriffen wird.
