Stochastik

Die Stochastik (griechisch für Kunst des Ratens) ist die mathematische Disziplin, die sich mit dem Zufall beschäftigt. Wesentliche Motivationen für ihre Entwicklung waren die Berechnung von Gewinnwahrscheinlichkeiten für Glücksspiele, die Frage nach fairen Einsätzen und die Frage nach einer fairen Aufteilung der Einsätze bei abgebrochenen Glücksspielen.

Heutzutage werden Resultate der Stochastik in sehr vielen, sehr unterschiedlichen Gebieten angewendet: Bei der Analyse und Neugestaltung von Produktionsprozessen (Zufallseinflüsse treten hier etwa in Form von Materialfehlern auf), bei der Auslegung von Service-Callcentern (die Anrufzeitpunkte und die Gesprächsdauern können als zufällig angesehen werden), in der Muster- und Bilderkennung (deutliche Muster werden häufig durch zufälliges Rauschen gestört), in der Versicherungsbranche (Zeitpunkte und Ausmaß von Unfällen oder anderen Versicherungsfällen werden als zufällig angesehen), in der Finanzwirtschaft (Aktien- und Währungsentwicklungen werden als zufällige Prozesse betrachtet), ...

Ein wesentliche Aufgabe der Stochastik ist es, zwischen verschiedenen Arten des Zufalls zu unterscheiden: Bei einem Wurf mit einem fairen Würfel bleibt jede der 6 möglichen Zahlen mit Wahrscheinlichkeit 1/6 oben liegen (Gleichverteilung); wird hingegen gezählt, wie oft bei zweifachem Werfen mit einer fairen Münze "Zahl" oben zu liegen kommt, so ergibt sich mit Wahrscheinlichkeit 1/2 der Wert 1, während 0 und 2 jeweils nur mit Wahrscheinlichkeit 1/4 auftreten (einfachste Form einer Binomialverteilung). Eine völlig andere Art des Zufalls ergibt sich, wenn die Lebensdauer eines Bauteils betrachtet wird: Hier kommt jede nichtnegative reelle Zahl als Wert in Frage. Diese verschiedenen Arten von Zufall führen auf den Begriff der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Aus verschiedenen derartigen Experimenten lassen sich stochastische Prozesse zusammensetzen, die dann tatsächlich als Modellierung realer Probleme angesehen werden können.

Allerdings lässt sich auch bei bekannter Wahrscheinlichkeitsverteilung das Ergebnis eines Experiments nicht vorhersagen, etwa können niemals einzelne Würfelergebnisse oder die Lottozahlen des nächsten Wochenendes vorhergesagt werden. Allerdings lassen sich langfristige Aussagen treffen, etwa dass beim wiederholten Werfen eines fairen Würfels der Anteil der Fünfen langfristig gegen 1/6 strebt. Derartige Aussagen sind Gegenstand von Grenzwertsätzen wie dem starken Gesetz der großen Zahlen oder dem zentralen Grenzwertsatz.