Interpolation, Approximation und mathematische Kuriositäten

"Interpolation" bedeutet schlicht, eine Funktion g aus einer gegebenen Klasse von Funktionen (z.B. Polynome) zu finden, die durch gegebene (x, y)-Punkte in der Ebene verläuft. Dieses Verfahren lädt natürlich dazu ein, eine gegebene (im Allgemeinen komplizierte) Funktion f durch eine Funktion g aus einer Klasse viel einfacherer Funktionen anzunähern (zu approximieren) – allein durch Auswertung der Funktion f an endlich vielen Stellen. Die "Größe" der Differenz von f und g (der Approximationsfehler) hängt dabei in entscheidender Weise von der Klasse der Funktionen ab, mit denen interpoliert wird. Wir werden mit Polynomen und sogenannten radialen Basisfunktionen interpolieren und die Approximationsfehler miteinander vergleichen.

Man neigt nun dazu, zu denken, dass der Approximationsfehler gegen Null geht, wenn die Anzahl der Punkte, an denen man die Funktion f auswertet, gegen unendlich geht. Wir werden zeigen, dass dies ein Trugschluss ist. Sogar "das Gegenteil" ist der Fall: Für gewisse, sogenannte "universelle Funktionen" f findet man für jede (geeignete) Funktion h eine Teilfolge der Interpolanten, die gegen h konvergiert – und damit eben nicht gegen f.

Eine weitere Möglichkeit, Daten bzw. Funktionen zu approximieren, bietet die sogenannte Fourier- Analysis – die Zerlegung von Funktionen in ihre einzelnen Frequenzen. Wir werden die Grundprinzipien und -ideen dieser Theorie beleuchten sowie auf die vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten in z.B. Audio- oder Bildanalyse eingehen.

Abschließend wollen wir uns mit vielen kleinen mathematischen Kuriositäten und Skurrilitäten aus den verschiedensten Teilgebieten der Mathematik auseinandersetzen, die problemlos auch im Unterricht Anwendung finden können; beispielsweise mit der Frage, wie sich zwei Menschen gerecht eine Pizza teilen.

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